vidéo : Montrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit à un triangle • Repère coordonnées seconde

On considère un triangle ABC dans un repère orthonormé. On note D le milieu du segment [AB] et E le milieu du segment [AC]. On montre que le point F tel que FD = FE = DE est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Voici un exemple d'application : Soit le triangle ABC avec les sommets A(-3 ; 1), B(5 ;5) et C(6 ; -2). On calcule les coordonnées du milieu du segment [AB] : Milieu du segment [AB] = (-3 + 5)/2 ; (1 + 5)/2 = 1 ; 3 On calcule les coordonnées du milieu du segment [AC] : Milieu du segment [AC] = (-3 + 6)/2 ; (1 - 2)/2 = 1.5 ; 0.5 On calcule les coordonnées du point F tel que FD = FE = DE : F = (1 + 1.5)/2 ; (3 + 0.5)/2 = 1.25 ; 1.75 On montre que le point F est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC en calculant les distances entre F et les sommets A, B et C : Distance entre F et A = √((1.25 - (-3))^2 + (1.75 - 1)^2) = √(19.0625 + 0.25) = √19.3125 ≈ 4.40 Distance entre F et B = √((1.25 - 5)^2 + (1.75 - 5)^2) = √(16 + 0) = 4 Distance entre F et C = √((1.25 - 6)^2 + (1.75 + 2)^2) = √(25 + 10.25) = √35.25 ≈ 5.94 On constate que les distances entre F et les sommets A, B et C sont égales. Donc le point F est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.